Păianjenul geometru

O să discutăm despre o specie de păianjeni Aranea Geometricus. Nu garantăm că această specie hălăduieşte şi în altă parte decât în imaginaţia noastră, dar acesta poate fi necaz pentru zoologi şi nu pentru Speranţe Olimpice Matematice.
Mai exact, o să vorbim doar despre un tânăr membru al acestei specii, Spiderman Geofrey, pe care o să-l alintăm zicându-i mai comod Spigi. O să aflaţi cum trăieşte, cum gândeşte şi ce necazuri are el de îndurat de la o muscă haină, Mushy. O să aflăm la momentul potrivit şi pe cine simpatizaţi voi: pe Spigi sau Mushy.
Specia lui Spigi ştie că trei puncte necoliniare distincte A, B, C îi sunt îndestulătoare pentru a-şi pregăti „plasa”. Nu ştim exact ce meşteşug a patentat; credem că trage întâi muchii rectilinii şi ţepene AB, BC, CA; revine apoi haşurând meticulos interiorul.
A venit vremea să spunem că specia lui Spigi nu este din cele „ţesătoare”; ei nu elaborează fire pe care să le „împletească”; ei sunt „laminatori” care produc o membrană triunghiulară de grosime neglijabilă dar rigidă, impenetrabilă dar perfect transparentă. Reţineţi deci că, dacă Spigi este de o parte a membranei sale ABC, el nu poate să treacă în partea cealaltă decât făcând „gimnastică la bară” pe una dintre muchii.
De exemplu, dacă o muscă Mushy se aşează exact de partea opusă lui Spigi, încât picioarele lor să fie separate doar de membrană şi să se privească unul pe altul ochi în ochi, Spigi nu poate să o înţepe pe Mushy prin membrană! Dura lex, sed lex!
Pentru o astfel de eventualitate, pentru o anume poziţie a sa pe membrană, Spigi trebuie să îşi însuşească din timp cunoştinţe (de tip geografic şi geometric), care să-i permită să ajungă cât mai rapid la Mushy, să-i facă injecţia paralizantă şi să o consume proaspătă. (Spigi este în creştere şi are nevoie de calorii, proteine, vitamine şi satisfacţii personale. Veţi afla curând că Spigi are nevoie imperioasă de hrană şi pentru întreţinerea membranei în stare funcţională). Fiţi alături de Spigi şi rezolvaţi prima lui problemă de viaţă:

1. Aveţi în figura 1 imaginea membranei ABC şi poziţia P a lui Spigi. Ce trebuie să ştie dinainte Spigi pentru a învăţa minte rapid o muscă obraznică M care l-ar sfida aşezându-se undeva pe faţa de vizavi de el?

Fig. 1

Figura 2. Spigi trebuie să fie capabil să ajungă pe cel mai scurt drum la fiecare muchie, deci în puncte D, E, F. Mai trebuie să ţină minte care este muchia mai apropiată, aici AB, la distanţa PF. Alte informaţii nu îi sunt utile pentru eventualitatea expusă, deci le poate transfera într-o memorie mai lentă a sa.

Fig. 2

Să nu gândiţi că Spigi ar fi puţin tâmpit. Întâi, pentru că nu este frumos să gândiţi aşa. Apoi, pentru că nu suntem deloc siguri că voi ştiţi să construiţi cu rigla şi compasul perpendiculare pe drepte. ... Apoi să actualizaţi că Spigi nu are riglă şi nici compas. Regulile de bună purtare ale speciei Aranea Geometricus îi interzic formal să mâzgâlească pe propria sa membrană (aşa cum nici voi nu sunteţi slobozi să desenaţi pe mese, dulapuri, pereţi sau garduri, acasă, la şcoală sau în tabere de pregătire). Spigi şi-a însuşit (din instincte) un meşteşug de a trasa perpendiculare folosind ingenios cele 8 picioare ale sale! Putem spune că el desenează cu toată fiinţa! (Dacă aş cunoaşte acest meşteşug nu aş avea voie să vi-l divulg).
Promisesem că vă vom informa despre datoriile lui Spigi de a-şi întreţine membrana în stare de funcţiune. Membrana în sine nici nu atrage şi nici nu reţine muşte. Metabolismul lui Spigi fabrică unsori speciale cu care îşi plachează periodic membrana. Aceste unsori atrag muştele prin miros şi gust. Unsoarea este destul de cleioasă ca o muscă să aibă nevoie de mult timp pentru a-şi elibera picior după picior, a decola de pe membrană (spre a-l lăsa mofluz pe Spigi). Aceste îndatoriri gospodăreşti ale lui Spigi nu pot fi transferate spre mamă, tată, frate sau bunic!
Această situaţie conturează lupta sportivă între Spigi şi muşte. Musca vrea să se elibereze din capcana provizorie înainte de a sosi Spigi să-i facă injecţia finală! În replică, şi Spigi îşi elaborează meticulos strategia de a ajunge cât de repede la orice muscă staţionată provizoriu pe membrană. Strategia este simplă când muştele staţionează pe partea membranei pe care este Spigi; acesta se duce direct la muscă şi îi face ce ştie el!
Colaborăm în continuare cu Spigi pentru a-i concretiza strategia de găsire a drumului minim când musca este aşezată (pe cealaltă faţă a membranei) ca în figura 3

Fig. 3

2. Găsiţi în aceste condiţii traseul minim al lui Spigi la M.

Fig. 4

Figura 4. Spigi are capacitatea de a se dedubla mintal şi să-şi imagineze că staţionează în simetricul său L faţă de muchia AC.Îşi imaginează şi punctul Y ∈( LM ) ∩ AC şi conştientizează strategia: se duce ţintă la Y, trece pe cealaltă parte a membranei şi apoi ţintă la M,să-i dea primul şi ultimul ajutor. Observaţi că Spigi este obligat la o gândire teoretică şi nu la una concretă. El nu se poate deplasa efectiv în L deoarece acolo nu este susţinut de membrană. Reţineţi şi voi că timpul care se scurge de la amembranizarea muştei până la răfuială este format din:
-timpul de reacţie;
-timpul de decizie a rutei optime (cu atât mai scurt cu cât Spigi şi-a pregătit mintal strategiile);
-timpul deplasării de la L la M. (Se adaugă ca o constantă timpul pentru gimnastica de trecere de pe o faţă pe alta).
Trebuie să înţelegeţi că, atunci când nu este solicitat specific de prezenţa unei muşte, Spigi trebuie să gândească în mod creativ ce va avea de făcut în diverse circumstanţe.
Să urmărim pe figura 5 situaţia de ansamblu pe care trebuie să o gestioneze mintal Spigi. Pentru muşte „de dincolo” apropiate de muchia BC, Spigi se dedublează într-un punct K, iar pentru cele apropiate de AB într-un punct M.

Fig. 5

3. Cum se delimitează zonele de impact ale muştelor M în raport cu muchia pe care este optim să o traverseze Spigi?

Vă cer şi vouă ritm (să nu ne găsească muştele nepregătiţi). ... Reţinem răspunsurile bune.
• Strategiile de atac peste AC şi peste BC sunt egal avantajoase când M este egal depărtat de K şi L ...
• ... deci pe mediatoarea lui [KL].
• Intervin în atenţie şi mediatoarele lui [ML], [KM]. ...
• ... Acestea ... sunt concurente în circum-centrul triunghiului KLM pe care îl notăm cu P’ (depinde de poziţia lui P). Punctul P’ se numeşte izogonalul punctului P în raport cu ΔABC. Vom constata treptat că această denumire este justificată (sau că nu contravine unui alt înţeles al acestei denumiri pe care s-ar putea să-l ştiţi ... din cultură geometrică personală).
• Spigi nu poate părăsi membrana pentru a trasa aceste mediatoare şi a găsi acel P’. Ştiţi vreun punct prin care trece mediatoarea lui [ML]? ...
• ... Într-adevăr, trece prin A, deoarece AM = AP = AL (sau pentru că A este circum-centrul triunghiului PML).
Atenţie acum la o întrebare decisivă pentru viaţa şi îndestularea lui Spigi:

4. Cum găseşte Spigi punctul critic P’ fără a părăsi membrana?

Constatasem că punctul P’ este la intersecţia următoarelor perpendiculare: din A pe LM, din B pe MK, din C pe KL. Pentru punctele K, L, M ar fi necesară ieşirea de pe membrană dar direcţiile dreptelor LM, MK şi KL sunt date (prin linii mijlocii) de cele ale dreptelor de pe membrană: EF, FD, DE. Figura 6. Avem deci întrebări mai simple:

Fig. 6

5. Cum ar putea Spigi trasa perpendiculara din A pe EF?

Figura 7, uşor mărită. Unghiurile PAF şi P’AE au drept complementare pe APF şi AEF, egale din patrulaterul inscriptibil AFPE. Deci semidreptele AP, AP’ sunt izogonale în raport cu unghiul BAC.

Fig. 7

-Poţi face asta, Spigi?
-Foloseam şi varianta asta dar nu aveam justificare filosofică şi lingvistică. Eu nu ştiu nimic despre patrulatere inscriptibile şi izogonale. Nici măcar cât ştie un elev slab de clasa a VII-a.
-Povesteşte cum acţionai.
-Mulţumesc că mă ascultaţi. Păstrez mereu nişte picioruşe de muscă pe care le diger greu, să am şi eu o rezervă pentru perioa de de criză de muşte. Vă interesează să ştiţi câ aceste crize locale de muşte sunt mai frecvente şi mai strâmtorante decât crizele economice mondiale?
-Nu prea, Spigi. Spune cum acţionezi efectiv.
-Înfig în unsoare un picior de muscă în punctul meu de staţionare P, ca să-l regăsesc uşor şi cu precizie. Mă duc ţintă spre A şi, un pic înainte de a-l atinge, înfig un alt picior de muscă. Acum pun picioare de ale mele: unul în A, unul spre B, unul spre P, unul spre C.O să mai povestesc despre asta, dacă o să îngăduiţi. Un picior se aşează singur spre P’ şi înfig acolo alt picior de muscă. După asta merg spre P’ şi mai jalonez acest traseu cu picioare de muscă.
-Procedezi corect. Ştii să te opreşti exact în P’?
-Nu. Am mult de muncit. O iau de la capăt şi jalonez drumul de la B spre P’. Apoi de la C spre P’.
-Nu ştii că ţi-ar fi de ajuns două drepte spre P’?
-Poate ajung în geometria abstractă. Picioarele mele mai tremură şi nu sunt prea sigur nici când răstorn unghiuri egale, nici de alinieri când sunt strâmtorat de muchii în zona vârfurilor.
-Spuneai că ai şi alt procedeu?
-Da. Când staţionez în P, eu simt toată membrana mea mai bine ca un fotbalist nedrogat terenul său de fotbal. Simt unde sunt punctele D, E, F şi unde este centrul Q al unui cerc prin aceste puncte.
-Bravo, Spigi. Noi folosim pentru acest cerc denumirea de cerc podar al lui P şi Q este centrul acestui cerc podar. Te ajută acest punct Q să găseşti punctul P’?
-Regulile pe care le ştie din instinct specia mea spun că acest punct Q este mijlocul lui (PP’). Este adevărat?

6. Răspundeţi la întrebarea lui Spigi.

Fig. 8

Figura 8. Ca linii mijlocii, QD, QE, QF sunt jumătăţi din P’K, P’L, P’M.
-Mulţumesc pentru confirmare. Îi bine ca în viaţă să ai anumite certitudini.
-Îţi este de ajutor să ştii unde este punctul P’?
-Enorm. Cum se aşează o muscă pe membrană, eu aflu unde. Dacă este în interiorul triunghiului P’BC, o atac peste muchia BC; dacă este în interiorul triunghiului P’CA, o atac peste muchia CA; dacă este în interiorul triunghiului P’AB,o atac peste muchia AB.
-Strategie corectă. Dar dacă se aşează drept pe o linie P’A, P’B sau P’C?
-Am elaborate strategii speciale. Lungimile traseului meu peste câte două muchii sunt egale dar eu pot socoti şi viteza mea pe aceste trasee, care depinde de poziţia membranei faţă de planul orizontal. La vale alerg mai repede, la deal doar un pic mai încet. Numai că pierd un pic de timp să decid care dintre variante este mai rapidă. Îndrăznesc să mai întreb ceva.
-Te ascultăm, Spigi.
-Ajung des în punctul P’; nu contează pe care parte a membranei. Poate mă înţelegeţi că trebuie să jalonez discret acest punct cu un picior de musculiţă. Când ajung acolo, simt că cercul podar al lui P’ este acelaşi punct Q. Este adevărat sau nu?

7. Răspundeţi la noua întrebare a lui Spigi.

Fig. 9

Sigur că da. Izogonalul punctului P’ este P; segmentele PP’ şi P’P au acelaşi mijloc Q. Prezentăm pe figura 9 şi proiecţiile D’, R ale lui P’, Q pe BC. În trapezul dreptunghic PDD’P’, QR este linie mijlocie, deci mediatoarea lui (DD’). Urmează imediat QD = QD’. Deci cercurile podare ale punctelor izogonale P, P’ coincid. Acest cerc este numit al celor 6 puncte.
-Vă mulţumesc foarte mult şi pentru această confirmare. Îmi îngăduiţi să mai povestesc?
-Da, Spigi.
-Vă spuneam cum îmi aşez picioarele când vreau să răstorn un unghi într-un vârf. Pe membrana care o folosesc acum totul este OK. Pe altă membrană (care s-a stricat), unul dintre vârfuri avea muchiile foarte răscrăcărate şi aveam dureri de picioare când încercam să răstorn unghiul.
-Am înţeles. Noi spunem că unghiul muchiilor era obtuz.
-Mulţumesc. Din cauza asta, răsturnam unghiurile doar în celelalte vârfuri. Îmi pare bine că membrana aceea s-a stricat; pe ea nu găseam puncte frumoase.
-Ce numeşti tu puncte frumoase?
-Un punct frumos este egal depărtat de toate vârfurile membranei.
-Noi îi spunem centrul cercului circumscris sau mai scurt circum-centru şi îl notăm cu O. Figura 10. Mai ai şi alte puncte frumoase?

Fig. 10

-Da. Un punct este astfel încât toate dreptele spre vârfuri sunt perpendiculare pe muchiile opuse. Aveţi nume şi pentru acesta?

Fig. 11

-Da, Spigi. Îi spunem ortocentru şi obişnuim să îl notăm cu H. Figura 11.
Dreptelor AH, BH, CH  le spunem înălţimi iar triunghiul său podar îl numim ortic. Ai făcut observaţii corecte. Dacă membrana are un unghi obtuz, pe ea nu găsim puncte frumoase ca O şi H.
-Mă simt bine că mă lăudaţi. Punctele astea frumoase, O şi H, sunt (aşa cum le spuneţi voi) izogonale?

Fig. 12

-Da, Spigi. Cercul celor şase puncte care corespunde perechii (O, H), se numeşte cercul lui Euler sau al celor 9 puncte. Figura 12. Ai învăţat multă geometrie; poate mai multă ca la şcoală.
-Eu cercetez ca să mă pot lupta cu Mushy şi nu pentru a lua note mari la teze unice. Mi-ar placea să merg la şcoală. Am auzit că acolo nu trebuie să ungi mereu membrane. Ştiu că muştele nu sunt primite la şcoală fiindcă sunt murdare şi enervează elevi. Mie îmi sunt dragi elevii. Dacă m-ar primi la o şcoală, aş avea grijă să nu bâzâie pe acolo nici-o muscă.
-Povesteşte despre Mushy.
-Este exagerat de rea. Trebuie să o prind şi să o mănânc.
-Ce îţi face?
-Nu munceşte. Stă departe de membrană şi priveşte cum muncesc eu. Bâzâie enervant ca un manelist. Când mă aşez la pândă într-un punct P, aterizează exact în punctul P’, linge cât de multă unsoare apucă, murdăreşte locul cu fecalele ei şi îmi mai şi împrăştie reperele.
-Nu te duci să-i faci injecţia?
-Aş vrea! Parşiva a observat că eu pierd un pic de timp să mă decid peste care muchie să o atac şi că apoi am drum lung de făcut până la ea. Până ajung, îşi descleie picioarele şi decolează.
-Şi ce faci atunci?
-Pun unsoare nouă şi mă aşez iar la pândă în punctul P’.
-Şi ea?
-Este diabolică! Se duce să lingă unsoarea din P şi mai şi aruncă de acolo picioruşul pus de mine pentru jalonare, doar ca să mă pună pe mine să muncesc să măsor din nou.
-Cum lupţi cu ea, Spigi?
-Am învăţat să găsesc pe membrană un punct frumos P care coincide cu P’. Acum degeaba aruncă jalonul de pe o faţă. Are şi acest punct nume?
-Da, Spigi. P’ coincide cu P dacă şi numai dacă P este centrul I al cercului înscris; şi acesta este cerc al celor 6 puncte. Figura 13.

Fig. 13

-Îmi place să aud asta. Îmi plac cercurile celor 6 puncte, Îmi sunt utile. Orice cerc este de acest fel?
-Nu, Spigi. Circum-cercul unui triunghi nu este cerc al celor 6 puncte. Multe cercuri nu taie deloc dreptele suport ale laturilor unui triunghi. Şi acum ce îţi mai face Mushy?
-Este rea din fire. Vine drept vizavi de mine şi îmi râde în nas că nu sunt destul de iute să o ajung şi să o înţep.
-Nu ai putea să ungi doar părţi de membrană care îţi convin ţie?
-Aş putea, dar nu este etic. Noi păianjenii avem o misiune importantă:să stârpim muştele! Micşorarea suprafeţei unse înseamnă restrângere de activitate, deci evitare parţială de îndatoriri. Ce rost am avea noi păianjenii pe lume dacă nu am stârpi eficient muştele? Ar fi bine dacă aş şti mai multă geometrie!
-Mi s-a părut că ştii destulă!
-Vă mulţumesc, domnule! Nu ştiu destulă! Specii diferite de păianjeni apropiate nouă ştiu mai multă! Din cauza asta, ei mănâncă mai bine decât noi!
-Ştii mai multe despre ei?
-Puţin, domnule! Membrana lor are şi găuri prin care pot trece de pe o parte pe alta! Dacă vă interesează,vă spun cum îi puteţi găsi.
-Nu este important dacă mă interesează pe mine, ci pe elevi. Poate, altădată, vom povesti despre ei.
Decideţi cu cine ţineţi: cu Spigi sau cu Mushy? Dacă doriţi să vă argumentaţi preferinţa sau aveţi să le daţi sfaturi înţelepte, folosiţi o linie cunoscută de e-mail. Dacă vă interesează verişorii lui Spigi, învăţaţi deocamdată geometria de la şcoală. Dacă vom decide să vorbim despre ei, va trebui să învăţăm matematici mai avansate.

DAN BRÂNZEI
Facultatea de Matematică, Iaşi, iunie 2010