Numărul e

Spun iar, reînnodându-mi firul, că descoperirea logaritmilor a provocat importante revoluţii în domeniile ce folosesc calcule matematice. Adevărat calculator virtual, puterea lor rezidă în convertirea înmulţirii la adunare reducând timpul necesar de la una sau mai multe ore (dacă vorbim despre numere mari), la cel mult un minut. Pare chiar că revoluţia provocată de apariţia calculatoarelor numerice este de mai mică importanţă, ea reducând minutul la câteva secunde.

Revenind la personajele vremii, Henry Briggs, mai pragmatic, a început să calculeze tabelele logaritmilor in bază 10, adică să scrie o listă cât mai lungă de numere drept puteri  ale lui 10. Acestea au fost foarte utile în practică, dar Neper şi, înaintea lui, Burgi (ale cărui rezultate au fost publicate mai târziu), intuiseră că baza trebuie să fie un numar uşor diferit de 1. Motivul a fost că, puterile succesive ale lui 1.0001, de exemplu, au distanţe mai mici între ele decât puterile lui 2 sau 10; deci mai multe numere aveau şansa unor logaritmi uşor de calculat.

Ceva mai târziu, pe la sfârşitul secolului XVII, Jacob Bernoulli a considerat necesar să studieze valoarea de care se apropie numarul uşor diferit de unu când este ridicat la o putere inversă  faţă de diferenţă . Adică, mai exact, către ce valoare se îndreaptă şirul de numere:

Aşa cum se observă, puterea creşte în aceeaşi măsură în care baza scade. Forma generală a şirului de numere ar fi:

   unde n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Pentru n = 1 valoarea şirului este , pentru n=2 avem  pentru n=10 obţinem valoarea 2.59 iar pentru n=100 ajungem la 2.70.

Acest interesant şir de numere nu-l depăşea prea mult pe 2.7. Limita spre care tindea era un număr straniu, imposibil de legat de numerele raţionale (adică de fracţii) sau de radicali.

Certificând, de fapt, progresul important al matematicii în secolul al XVII-lea, acest număr apăruse deja în contextul altor probleme. Chiar Jacob, unul dintre primii matematicieni ai dinastiei Bernoulli, îl descoperise studiind capitalizarea dobânzilor bancare (problemă cu un pronunţat specific elveţian). Mai exact, problema se pune astfel:

“Avem o sumă de 1E (sigur Bernoulli nu la Euro se gândea), pe care o depunem la o bancă pentru o dobândă de 100% pe an. Care va fi valoarea contului la sfârşitul anului, în funcţie de intervalele la care este capitalizată dobânda?”

Asfel, daca vom calcula dobânda la sfârşitul anului, valoarea contului va fi, desigur, de 2E. Însă dacă socotim dobânda la jumătatea anului, anume de 0.5E, şi o adunăm valorii contului, obţinem o valoare de 1.5E la jumătatea anului. Aplicându-i încă 50% dobândă pentru următoarea jumătate de an, avem o valoare a contului de 2.25E la sfârşitul anului (se observă că sunt exact valorile pentru n=1 şi n=2 din şirul studiat anterior). Dacă vom capitaliza trimestrial, obţinem valoarea pentru n=4, adică 2.44, săptămânal vom avea valoarea pentru n=52, adică 2.69, iar la o presupusă capitalizare zilnică avem cel de-al 365-lea termen a cărui valoare este 2.71.
Ei, pe aici lucrurile se cam termină din punct de vedere financiar. Adică, putem capitaliza dobânda în fiecare secundă, la 2.72 tot n-ajungem ...

Era deja interesant faptul că acest şir de aproximări ale unui număr, despre care nimeni nu ştia ce natură are, apare într-o problemă fără legătură cu logaritmii. Nu era singurul peisaj în care a scos capul, în timpul acestui secol.

Astfel, ceva mai devreme, adica înainte de 1650, René Descartes, creatorul geometriei analitice, descoperise o curbă unică prin faptul că modela multe creşteri organice, numită “spirala logaritmică”. Spre deosebire de “spirala lui Arhimede”, evident descoperită în Antichitate, această curbă:

are proprietatea că, ducând o secantă din centrul ei spre exterior, tangentele în punctele de intersecţie sunt paralele. Descrierea acestei curbe se face ca funcţie exponenţială de bază e (adică 2.718....).

Multe cochilii din lumea moluştelor au luat-o drept exemplu, iar Jacob Bernoulli, care şi-a gravat-o pe mormânt, şi-a ales drept epitaf descrierea ei: “Mă transform rămânând aceeaşi .”.

Secolul al XVII-lea a fost prima perioadă a matematicii moderne. De pe la mijlocul său a fost clar că, deja au fost depăşite rezultatele spectaculoase din Antichitate. Este remarcabil faptul că, aşa cum geometria greacă a descoperit, inevitabil numarul π, matematica modernă a fost nevoită să se ocupe, încă de la începuturile ei, de numărul e. De ce a fost notat cu “e” ?... ar fi o poveste mai lungă decât cea de pâna acum...

(va urma)

Autor: Marcian Dumitrescu