Logaritm, adică loc aritmetic...

Marile descoperiri geografice din secolele XV – XVI au fost posibile prin navigaţia transoceanică. 
Spre deosebire de navigaţia mediteraneeană, unde marinarul nu pierde din vedere ţărmul prea multe zile la rând,  navigaţia transoceanică presupunea luni întregi de izolare, fără alte repere decât astrele.

Că poziţia lor pe boltă, la o anume dată, poate determina cu o bună precizie poziţia navei se ştia din Antichitate, dar această legătura se făcea prin calcule implicând înmulţiri de numere mari, care puteau dura zile întregi.

Desigur, când de rezultatele calculului atârnă vieţile celor de la bord dar şi averile armatorilor, fără a mai vorbi de puterea navală a marilor state din Europa de Vest, multe persoane influente hotărăsc să exercite presiuni pentru a se pune la punct procedee matematice rapide.

Acesta a fost contextul istoric în care au apărut logaritmii, consideraţi o adevărată minune a matematicii. Emoţiona, în primul rând, capacitatea lor miraculoasă de a transforma înmulţirea în adunare. Părea prea frumos ca să fie adevărat.

Meritul descoperiri lor se împarte între scoţianul John Napier şi englezul Henry Briggs, fără a uita contribuţia elveţianului Jost Bürgi .

În esenţă, acest procedeu porneşte de la cunoscuta proprietate a înmulţirii puterilor cu aceeaşi bază care spune:

a^m · aⁿ = a^m+n

Neper a avut o idee valoroasă când a intuit că, acestă formulă, care transforma o înmulţire într-o adunare este instrumentul de care are nevoie.

Astfel, dacă avem de înmulţit două numere mari x şi y o soluţie ar fi să avem un tabel cu foarte multe numere scrise ca puteri ale unui număr a convenabil ales.

Apoi este simplu: găsesc în tabel puterile m şi n pentru care

x = a^m  şi  y = aⁿ,

adun puterile (m + n) şi caut în tabel valoarea lui

z = a^m+n

Desigur, z este valoarea produsului x · y

Să dăm un exemplu:

Presupunem că avem de înmulţit numerele 1024 şi 4096.
Alegem a = 2 şi presupunem că avem tabelul în care orice număr până la un număr N foarte mare este scris ca putere a lui 2.

După o consultare rapidă a tabelului observăm că 1024 = 2¹⁰, iar 4096 = 2¹²
Adunăm 10 + 12 = 22, apoi aflăm din tabel că 2²² = 4194304.

Înseamnă că
1024 · 4096 = 4194304
şi gata.

Aceste puteri m şi n, la care trebuie ridicat a pentru a-i obţine pe x şi y au fost numite logaritmii lui x şi y în baza a, (logaritm s-ar traduce “loc aritmetic”, pentru că, în exemplul nostru 10 şi 12 sunt “locurile aritmetice” ale numerelor 1024 şi 4096 în tabela ce le reprezintă ca puteri ale lui 2).
Asta-i tot?

Sigur nu, pentru că, în acest caz, soluţia ar fi apărut mult mai devreme. Marea problemă o reprezenta calculul tabelei de care ar urma să ne folosim, iar aceasta  s-a dovedit a fi prea greu pentru numere care nu sunt puteri întregi ale lui 2 (cum ar fi 3 sau 170111 sau ce număr doriţi, mai puţin câteva norocoase gen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096,  ... şi tot aşa, fiecare număr obţinându-se din precedentul prin înmulţire cu 2).

Ideea cu adevărat genială a lui Neper a fost ca, în loc de puteri ale lui 2, să exprime numerele ca puteri ale unui număr uşor diferit de 1 (el l-a ales pe 0.9999999).
Alcătuirea tabelelor a fost „mult mai simplă”, iar pe la 1650, adică la vreo 30 de ani de la apariţia lucrării lui Neper "Mirifici logarithmorum canonis constructio", tabelele erau gata şi deja larg folosite.

Cum tabelele erau greu de utilizat a fost construit un instrument clasic de calcul şi anume “rigla de calcul”. Acest instrument a fost indispensabil oricărui inginer, timp de 300 de ani, până la apariţia calculatoarelor numerice, în anii 1950. Cu calculatoarele de astăzi lumea a uitat de mirificii logaritmi.

Totuşi, nu această utilizare a logaritmilor îi încântă pe matematicieni.

În descoperirea lordului John Neper, baron de Merchiston, se ascunde o tulburătoare taină matematică…

Marcian Dumitrescu